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Lo que sí voy a hacer es una observación
marginal que me parece que viene como anillo al dedo. He hablado
de objetos y de montones y me hago la ilusión de que
de esa manera se entiende bastante bien lo que he querido explicar;
y si no se entiende, échenme la culpa a mí. Pero
si en vez de "montón" digo "conjunto"
y, en vez de objetos, "elemetos", que es como tendría
que haber dicho, mucho me temo que el alboroto de una pandilla
de "hooligans" ingleses parecería un concierto
de villancicos comparado con los denuestos que iban a llover
sobre mí. ¡Ya está éste con los conjuntos!,
dirían como mínimo los padres y abuelos más
educados que se empeñan en que eso que estudian o estudiaron
sus hijos no hay quien lo entienda, ni falta que hace. Yo tampoco
acabo de entender del todo a qué se debe esa animadversión,
salvo que apunte a la resistencia que oponemos a las novedades,
porque se identifica lo habitual con lo sencillo: un concepto
o un cálculo que me sea familiar me parece fácil
mientras que es muy difícil y aborrecible si me lo presentan
de pronto y no estoy dispuesto a acostumbrarme a él.
Como no es éste el caso de mis sabios lectores prescindiré
de toda precaución y no me importará hablar de
conjuntos y elementos.
Supongamos,
pues, que tenemos un conjunto cuyos elemetos se pueden sumar
y también multiplicar por números, sujetas esas
operaciones a ciertas operaciones que no es cosa de especificar
pero que sabemos que, haberlas, haylas. Así que, según
lo dicho, con los elementos de ese conjunto se pueden hacer
combinaciones lineales; pues ya tenemos el conocimiento a punto:
cuando se verifica que toda combinación lineal de cualquier
elemento del conjunto nos da otro elemento del conjunto, se
dice que el tal conjunto es un sistema lineal o espacio
lineal respecto de esas operaciones, adición y multiplicación
por números o coeficientes, definidas en él. Más
palabras, pues, con apellido "lineal" que, sin embargo,
no parecen hablar de rectas. Alguien podría pensar que
algo sí, si añado que a los sistemas lineales
se les llama también espacios vectoriales y, a
sus elemntos, vectores, porque éstos nos suenan
a unas flechitas que algo tendrán que ver con la geometría.
¡Alto ahí, amigo! Hemos entrado de nuevo en el
reino de las metáforas: esos vectores geométricos
que dan nombres al sistema son sólo el primer modelo,
pero cualquier otro que se comporte como él será
tambián un espacio vectorial, aunque sus elementos puedan
ser matrices, funciones, datos estadíticos, lo que sea.
No importa la entidad de los elementos sino que estén
sujetos a las propiedades prescritas para las operaciones. Eso
es lo que se llama una estructura: en este caso, por
obedecer a condiciones establecidas para determinadas operaciones
algebraicas, los espacios vectoriales constituyen una de las
"estructuras algebraicas". De modo que ya nos encontramos
saliendo de la geometría para pasar al álgebra
en este recorrido por la palabra "lineal".
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