DERIVANDO, QUE ES GERUNDIO

Los más viejos del lugar recordarán tal vez una de aquellas muletillas que andaban de boca en boca de la gente, hermanas del título que encabeza este artículo. "¡Andando que es gerundio!", se solía decir, por ejemplo, para ponerse en marcha. Algo parecido a como, más tarde, oíamos tronar en cualquier bar: "¡Marchando una de boquerones!". Se ve que el gerundio, se diga o no explícitamente, tiene algún poder movilizador. Por cierto que en aquel entonces se contaba también la anécdota de una niñera que interpretó a su modo el "andando que es gerundio" que había oído al padre del niño que cuidaba y cortó así el rato de paseo o de juego de la criatura: vámonos , Manolito, que es gerundio". Muletillas son que duran algún tiempo, no mucho , y desaparecen sin ser luego reconocidas; quizá porque interpretadas literalmente, significan muy poco. No hay más que repasar las que se dicen en La Verbena de la Paloma, por ejemplo, para darse cuenta de ello.

Si traigo ahora el dichoso gerundio a colación es para darle el mismo sentido que en alguna de aquellas frases. "Andando, que es gerundio" podía significar que había llegado el momento de dejarse de palabrerías o de hacer el zángano y ponerse a la tarea que se tuviese entre manos. Y viene a cuento porque, a raíz de uno de los primeros capítulos de esta serie, aquel que hablaba de la derivada como una especie de fotografía de un instante del movimiento, me ha comentado alguno que mucho hablar y mucha literatura pero que, en realidad, nada se habla de lo que es la derivada. Bien podía escabullirme aludiendo al planteamiento que desde el principio hice de que no iba a desarrollar lecciones que están más tratadas en los libros de texto sino buscar raíces culturales de la matemática o de alguna de sus manifestaciones. No obstante, por mí que no quede. Aunque sea por una vez intentaré explicar, de un modo desde luego muy barato, qué puede significar aquella fórmula, , por si hay alguien que anda todavía por los triangulitos, que yo creo que no. (Y aprovecho para llamar la atención sobre una errata que entonces se deslizó: en lugar del cociente anterior, decía )

La y de la fórmula es una función de la x, lo que se suele escribir, y nos dice que, para cada valor que toma la x, a la y le corresponde también un cierto valor. Supongamos, por ejemplo, que en un viaje en coche vamos mirando de vez en cuando el reloj al pasar por distintas señalizaciones de los kilómetros: a cada tiempo que el reloj me marca, la señal me indica en qué kilómetro me hallo. Si a las 10 de la mañana estoy en el kilómetro 45, a las 11 en el 150, a las 12 2n el 240 y a la 1 en el 310, escribiríamos: f(10) = 45, f(11) = 150, f(12) = 240, f(13) = 310, y lo mismo para otros tiempos intermedios. O bien podríamos ponerlo en forma de cuadro:

Por eso decimos que el espacio recorrido es función del tiempo del tiempo empleado en recorrerlo. Nada nuevo, como vemos.

Lo malo es cuando recibo una notificación de la Jefatura de Tráfico diciendo que he pasado por el punto kilométrico 150 a más velocidad de la permitida. Vamos a ver -arguyo-: he pasado por allí a las 11, y dos horas después, a la 1, estaba en el 310; o sea, que en esas dos horas he recorrido 310 -150 = 160 km., así que en una hora habré recorrido 80, que no es para tanto. Esas dos horas son el incremento del tiempo a partir de las 11, esto es, lo que aumenta el tiempo al pasar de las 11 a la 1: es el . A ese incremento del tiempo corresponde un incremento del espacio, justamente 160 km., que es el . Así que la velocidad entre ambos puntos, como he dicho, ha sido=160/2=80 km./h.

Naturalmente, en Tráfico me dicen que a ver si me creo que se chupan el dedo: Es velocidad es la velocidad media a que he circulado en esas dos horas, pero dentro de ellas habré ido unas veces a más velocidad, otras a menos, e incluso he podido pararme algún rato. Y se empeñan en que a las 11 iba a más de 120 y que la multa está bien puesta.

Hagamos, si no, otra prueba, digo: como tengo anotado que a las 12 pasaba por el kilómetro 240, resulta que en una hora, de 11 a 12, he recorrido el espacio que va de 150 a 240 kilómetros, es decir 90 km.; la cosa se empieza a ponerse mal, porque ahora = 90 , que es la velocidad media en esa hora. Y, si seguimos, peor. Supongamos que a las 11h. 24 min., es decir, 24 minutos después de pasar por el 150, estoy en el 190; que en 24 min. = 2/5 h. haya recorrido 40 km. equivale a una velocidad media de 100 km. por hora. Y si 5 minutos después de las11 había pasado por el 160, la velocidad media en ese intervalo de tiempo ha sido de 120 km./h. Si seguimos acortando el incremento de tiempo que venimos midiendo desde las 11, habrá que empezar a dar la razón a la Guardia Civil de Tráfico. Por si acaso vamos a organizarnos un poco a ver si aclaramos las cosas.

Hagamos para ello una tabla con cuanto acabo de decir:

Vemos, pues, que a medida que vamos acortando el incremento del tiempo, siempre a partir de las 11, la correspondiente velocidad media, , va variando. El valor a que tiende cuandotiende a 0 es la velocidad instantánea que llevaba a las 11, o sea, en el kilómetro 150 (y que es la que debe marcar en ese momento el indicador de la velocidad que lleva el coche: supongamos que ha sido 123km/h). Nada, nada, ya veo que no voy a tener más remedio que pagar la multa.

Bien, pues ese valor, la velocidad instantánea, es justamente el que denota el

, y que se llama derivada de y respecto de x. Aprovechamos para hacer una observación. Ya dijimos que si y = f (x) y que, en consecuencia, f (11) =150.

Así que , - f (11 ); de modo que:. El intervalo tiende hacia cero cuando x tiende a 11, de modo que la derivada puede escribirse así:

,

expresión muy habitual, lo mismo que otras equivalentes.

Esa velocidad instantánea no es ya, como suele decirse, el cociente del espacio por el tiempo, que valdría para las velocidades medias, sino el número al que tienden esas velocidades medias cuando los intervalos de tiempo en que se calculan se aproximan al cero. Se habría idealizado, dice un autor, espacio y tiempo de modo que se puede así hablar de algo que aparece en un instante de tiempo y en un punto del espacio. Es lo que dice Newton cuando introduce el nuevo "cálculo": una cantidad - distancia en nuestro ejemplo- , a la que llama fluyente, que crece con el tiempo, y la velocidad de ese crecimiento que es la fluxión. Las fluxiones se pueden considerar, con una aproximación tan fuerte como se quiera, como los incrementos de las fluyentes en intervalos de tiempo por pequeños que sean. Nuestra derivación es, pues, el paso de las fluyentes a las fluxiones, y parece que veía igualmente como operación inversa la integración, es decir, el paso de las fluxiones a las fluyentes, aunque le resultase más difícil de obtener.

Por supuesto que el método trasciende a las meras variaciones de las distancias respecto de los tiempos, para generalizarse a la rapidez de variación de una variable cualquiera y=f(x) respecto de otra, x, para un determinado valor de esta otra. Si consideramos el valor el valor a de esta última y el correspondiente f(a) de la primera el mismo proceso que hemos seguido para la velocidad como derivada del espacio respecto del tiempo nos daría la derivada, para el valor a de la variable y=f(x) respecto de la x:

.

El mismo Newton pasa ya de las velocidades a otras derivadas, aplicándolas al estudio de las curvas, por ejemplo; y pronto se generaliza no sólo a problemas de la física, electricidad, calor, luz, acústica, sino también posteriormente ala economía, genética, etc.

Pues hasta aquí hemos llegado, seguramente sin haber satisfecho las expectativas de quienes me movieron a ello. Y, la verdad, no deja de darme un poco de rubor haber explicado esto con tan leves y vulgares indicaciones, sin precisar, por ejemplo, la idea del límite, y dicho todo algo así como " para andar por casa". Pero si de alguna forma sirve para aclarar algunos conceptos o para facilitar la lectura de un texto más formalizado, con mucho gusto me pongo colorado.

[OTRA NOTA: Ya que habíamos mencionado una errata aparecida en un texto anterior, bien podría señalar también no una errata, que ésas cuando las hay, casi se resuelven solas, sino una auténtica distracción. Fue en el tema de la cuadratura del círculo, en uno de cuyos párrafos se hablaba de los números construíbles: eran los que se obtenían mediante una serie de operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas) realizadas - se decía allí - con números enteros. Pues no, no es suficiente, hay que afinar más: se tiene que operar con enteros positivos , es decir, con números naturales. ¡ Ahí es nada la diferencia¡].

José Javier Etayo