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Una de las dificultades de los
aceleradores electrostáticos de partículas cargadas la constituye su gran longitud, ya
que la aceleración de las partículas depende de la diferencia de potencial total, y como
E=V/d , si V es muy grande, también debe serlo “d” ( para evitar campos
eléctricos intensos que pueden producir el salto de chispas).
Estas dificultades pueden
superarse consiguiendo que la trayectoria de la partícula cargada sea circular
(utilizando un campo magnético) y diseñando aceleradores que funcionen cíclicamente .
Este es el caso del CICLOTRÓN. Vamos a ver un problema relacionado con su funcionamiento.
En un determinado CICLOTRÓN, los protones describen una circunferencia
de 0´40 m de radio poco antes de emerger. La frecuencia del potencial alterno entre las
“des” es de 107 Hz. Despreciando los efectos relativistas, calcular :
a) El campo magnético utilizado . b) La velocidad de los protones cuando salen del
acelerador. c) La energía de los protones en J y en MeV. d) El número mínimo de vueltas
completas de los protones si el máximo del potencial entre las “des” es de
20.000 V. e) Lo mismo para un deuterón de
masa 2´014 uma.y para una partícula a de masa 4´003 uma.
Para
acelerar una partícula cargada, necesitaremos un campo eléctrico lo suficientemente
potente. Pero, si conseguimos hacer que las partículas pasen muchas veces a través del mismo campo eléctrico,
conseguiremos aceleraciones sucesivas y, la energía de las partículas irá aumentando.
Para desviar la partículas cargadas podremos utilizar un campo magnético. El campo
magnético utilizado podemos pensar que, dependerá de la partícula acelerada y de las
características del ciclotrón.
Cuando una partícula cargada entra en un espacio
en el que existe un campo magnético uniforme de valor B, la
fuerza que aparece sobre la misma viene dada por :
por lo que su módulo será
F = q.v.B sen b
Si penetra perpendicularmente a las líneas del
campo magnético, la fuerza ( perpendicular a v) valdrá :
F = q.v. B
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Al ser una fuerza perpendicular a v, actúa como centrípeta y la partícula
describe una trayectoria circular de radio R.
de
donde 
la velocidad angular ( o frecuencia angular )
vendrá dada por :
como
vemos independiente de v y de R.
En el ciclotrón recibe el nombre de
“frecuencia ciclotrónica”.
Si, cada media circunferencia
conseguimos acelerar las partículas estableciendo una d.d.p. entre las dos
“des” del ciclotrón, éstas entrarán en la otra “d” con una
velocidad mayor por lo que describirán una semicircunferencia de mayor radio, pero con la
misma frecuencia . Si en el intervalo correspondiente a medio ciclo, cambia la polaridad
de las dos “des” del ciclotrón, cuando la partícula vaya a pasar a la otra
“d” volverá de nuevo a ser acelerada por el campo eléctrico.
Si el proceso se repite muchas veces, la
velocidad de las partículas irá siendo cada vez mayor, hasta que, para un determinado
radio Rmax emergen del ciclotrón con una gran velocidad.
Para contestar a la
pregunta a) del problema, pensemos que, como hemos visto, la frecuencia ciclotrónica
depende de la carga, la masa y el campo magnético existente en las “des”.
b) La velocidad máxima alcanzada por los protones
cuando describen la última vuelta antes de salir del ciclotrón será :
c)
La energía de los protones en J y en MeV la calcularemos como su energía cinética (
despreciando las desviaciones relativistas).
d)
El número de vueltas completas que deben dar los protones en el interior del ciclotrón
lo calcularemos teniendo en cuenta que la energía la ganan cuando pasan de una
“de” a la otra , al ser acelerados por el campo eléctrico existente entre
ellas. Como en cada vuelta completa son acelerados dos veces, y la energía ganada en cada caso es V.q tendremos
:
q.V.2n = ECmax
1´6.10-19.20000.2n = 5´26. 10-13 de
donde
n =
82´18 vueltas » 82 vueltas
Este será el nº
mínimo de vueltas completas, correspondientes a las partículas que pasan entre las
“des” cuando el campo eléctrico es máximo. Si cualquier otra partícula pasa
entre las “des” con cualquier otro valor del campo eléctrico, el nº de vueltas
completas será mayor hasta adquirir la misma energía cinética.
e)
En el caso de los deuterones 
la relación q/m será distinta, por lo
que debemos variar el campo magnético para adecuarlo a la frecuencia del ciclotrón. La
masa del deuterón será :
m = 2´014 uma = 3´34 .
10-27 Kg y
su carga q = 1´6 . 10-19
C.
Como
de
donde, el campo magnético adecuado será :
La velocidad máxima alcanzada por los deuterones
( cuando describan la circunferencia de radio máximo R=0´4m ) será
Siendo, la energía cinética con la que salen del
ciclotrón :
Siendo
el nº de vueltas que dan los deuterones en el interior del ciclotrón de :
q.V. 2n = EC
2n
. 1´6 . 10-19. 20000 = 1´052 . 10-12
n = 164´4 vueltas » 164
En el caso de las partículas a , la relación q/m es
prácticamente la misma que la de los deuterones , por lo que, el campo magnético
adecuado para las partículas a será el
mismo que para los deuterones. La velocidad máxima de las partículas también será la
misma que para los deuterones. No ocurrirá lo mismo con la energía cinética máxima (
con la que “salen” del ciclotrón ) , ya que la masa es mayor.
B = 1´31 Tesla
vmax = 2´51 . 107
m/s
Y el nº de vueltas que dan las partículas a , en el
interior del ciclotrón será:
2. 1´6. 10-19.
20000. 2n = 2´1.10-12
de donde n
= 164.06 vueltas » 164 vueltas
En general, la energía
con la que salen las partículas cargadas del acelerador vendrá dado por :
En el siguiente
APPLET podemos comprobar el movimiento de distintas partículas cargadas en el interior de
un CICLOTRÓN. Veremos las fuerzas que actúan sobre ellas en cada tramo de su recorrido,
tanto en el campo eléctrico como en el magnético, y, sobre todo cómo oscila el campo
eléctrico para que la partícula sea siempre acelerada al pasar de una “de” a
la otra.
Comprobaremos que, elegido
un ión ( con su correspondiente relación q/m) y una frecuencia de oscilación del campo
eléctrico, el campo magnético B está condicionado por los anteriores valores. O, lo que
es lo mismo, si fijamos el campo magnético B la frecuencia del campo eléctrico está
condicionada.
Podemos ver que, a medida que el
ión describe semicircunferencias de mayor radio, la velocidad va aumentando ( siendo
constante la velocidad angular). La velocidad máxima la adquieren cuando el radio de la
semicircunferencia es máximo, saliendo del acelerador con esa velocidad y, la
correspondiente energía cinética.
También podemos observar que, si
aumentamos la d.d.p. máxima entre las “des”, el número de ciclos completos que
da la partícula en el interior del ciclotrón disminuye, mientras que la energía
cinética con la que salen del mismo continúa siendo la misma.
Dicha energía cinética dependerá
pues del campo magnético ( relacionado con la frecuencia eléctrica) , del radio del
ciclotrón , de la relación q/m de las partículas así como de su carga.
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