EL PÉNDULO ELECTROSTÁTICO

 

Inicio  Problemas     Problema siguiente

 

 

              Cuando partículas de masa m están cargadas con una carga eléctrica q , si están situadas en un espacio en el que exista un campo eléctrico o magnético, además de la fuerza “peso” debida al campo gravitatorio, tendremos que considerar las fuerzas eléctricas o magnéticas actuantes. Si las masas de las partículas son muy pequeñas ( tal es el caso de los electrones, protones ... ) y están dotadas de grandes velocidades, podremos despreciar la acción del campo gravitatorio, pues resulta no comparable a la de los campos eléctricos o magnéticos. En este caso que vamos a considerar la fuerza gravitatoria es perfectamente comparable a la eléctrica. Se propone lo siguiente:

 

     Un condensador plano tiene sus láminas situadas en un plano vertical y separadas 60 cm. En el espacio comprendido entre ambas, se coloca una bolita de caucho de 0´5 g que cuelga de un hilo aislante de 30 cm de longitud cuyo extremo está fijo. Si se carga la bolita con 0´2 mC y la d.d.p. entre las láminas del condensador es de 1800 V, se pide : a) Ángulo  que se separa el hilo de la vertical y tensión del mismo. b) Lo mismo para un d.d.p entre las láminas de – 4200V. c) Si desde la situación  anterior se hace cero la d.d.p. entre las láminas ¿ Qué tipo de movimiento describe la bolita? ¿ Cuál es su frecuencia? ¿ Cuál será la máxima velocidad?.

 

      Si no hay d.d.p. entre las láminas del condensador, el hilo que sujeta la bolita estará en posición vertical y sobre la bolita ( en equilibrio) actuarán las fuerzas peso P y tensión del hilo T cuya suma es cero. Al establecer una d.d.p. entre las láminas del condensador, entre ambas existe un campo eléctrico E , por lo que sobre la bolita debe aparecer otra fuerza de naturaleza eléctrica pues está cargada con una carga q. En la nueva situación de equilibrio debemos considerar las fuerzas : P , T  y Fe   que, al ser su suma cero, debe separarse el hilo de la vertical un ángulo a . Este ángulo, dependerá de la d.d.p. entre las placas, de la distancia entre ambas, de la carga y de la masa de la bolita , así como de g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  

 

       Cuando existe una d.d.p. entre las láminas del condensador, dado que la bolita está cargada, la nueva situación de equilibrio supondrá que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella será cero, luego :

 

                             como      en el sistema de coordenadas xy de la figura cada una de estas fuerzas viene dada por :

 

                                       

 

      como la suma de fuerzas a lo largo del eje x debe ser cero lo mismo que a lo largo del eje y, tenemos que :

 

      -T sen a + F = 0                       y                  T cos a - mg = 0        de donde

 

         F = T sen a            y             mg = T cos a              dividiendo una expresión por otra:

 

 

           

 

  Como la fuerza  eléctrica que aparece sobre la bolita es              y , el campo eléctrico existente entre las láminas del condensador  es :

 

                        por lo que, la tg a , vendrá dada por :

 

 

 

 

 

     siendo d  la distancia entre las láminas del condensador  y Vab la d.d.p. entre las láminas del mismo.

 

     En nuestro caso concreto, para una d.d.p. Vab = 1800 V , una carga de q = 0´2 . 10-6C , una distancia entre láminas del condensador de  d = 0´6 m , una masa de 0´5 . 10-3 Kg  , con g= 9´8 N/kg

la tangente del ángulo resulta ser de :

 

          tg a = 0´1224            de donde             a = 6´98º        y , la tensión del hilo será

 

 

 En el apartado b) se ha invertido  el campo eléctrico al cambiar el signo de la d.d.p. Los valores en este caso son : Vab = - 4200 V,   d = 0´6 m , q = 0´2. 10-6 C , m = 0´5 . 10-3 Kg   y g = 9´8 N/Kg  con lo que :

 

        tg a = - 0´2857                                a = - 15´94º       y , la tensión del hilo será

 

 

 

      

 

  c) Si desde la posición de equilibrio anterior , hacemos cero la d.d.p. entre las láminas del condensador, dejará de actuar la fuerza electrostática ( al ser cero el campo eléctrico) y sobre m sólo actuarán, la tensión T y el peso P. Cómo la suma de estas dos fuerzas no es cero, la bolita acelera moviéndose hacia la posición que supone el hilo vertical. Si deseamos saber la velocidad de la bolita en esta posición, en lugar de descomponer las fuerzas a lo largo de los ejes x e y lo haremos en componentes radial y tangencial ( ya que la bolita describe un arco de circunferencia). La componente tangencial de P , será  mg sen a  y  la radial  mg cos a . La tensión del hilo será siempre radial y valdrá :

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 En movimiento de m, la aceleración tangencial será :

 

       

 

que, como vemos depende del ángulo que en cada posición forme el hilo con la vertical. Por tanto, la derivada del módulo de la velocidad depende del ángulo (el cual es también función del tiempo). Los razonamientos dinámica-cinemáticos en estos casos son muy complicados por las ecuaciones diferenciales que se plantean. Sin embargo el razonamiento energético resulta muy sencillo.       (Aquellos razonamientos que pretenden ser dinámico-cinemáticos en los que se elimina la variable tiempo, vuelven a ser una forma de plantear el principio de conservación de la energía).

 

 

      Considerando el sistema formado por la bolita ( ligada al hilo) y cargada con una carga q  la Tierra y el condensador cargado, podemos considerarlo aislado y conservativo, pues tanto las fuerzas gravitatorias como las eléctricas son conservativas y , la tensión del hilo T , no realiza trabajo al ser siempre perpendicular al hilo. Por tanto podemos plantear, en el paso de la bolita de la posición 1 a la 2, lo siguiente:

 

            DEc +  DEp gravitatoria+ DEp eléctrica = 0

     Como en el caso que nos plantea el problema, el campo eléctrico es cero, el sumando DEp eléctrica

 es cero. Luego :

 

     ( Ec2-Ec1) + ( Ep2-Ep1) = 0     

 

 Consideramos punto 1 la situación inicial cuando el ángulo con la vertical es –15´94º , y punto 2 cuando pasa por la vertical con un ángulo 0º. Como Ec1= 0 , podemos escribir.

 

                  y como        

 

 

 

 

 Esta será la velocidad máxima en el movimiento periódico que describe la bolita. Si los ángulos son pequeños podremos averiguar la frecuencia del mismo ya que se tratará de un movimiento vibratorio armónico simple,  pues:

 

        Como vimos anteriormente                ½a½ = g sen a          que, estableciendo un criterio de signos  a lo largo de la trayectoria en forma de arco, será 

 

                  a = -g sen a

 

    Para ángulos pequeños, podemos hacer la siguiente aproximación:       sen a » a .

 

Como la amplitud de un ángulo es la longitud del arco partido por el radio, tenemos que

 

                       siendo e  la posición  de la bolita sobre la trayectoria.

 

   Como vemos es un movimiento en el que, la aceleración depende linealmente de la posición y es de signo contrario. Estas son las condiciones de un movimiento vibratorio armónico simple, en el que :

          la posición      e = A sen w t

          la velocidad    v = A w cos w t

       la aceleración    a = - A w2 sen w t  = - w2 e

 

    Como en nuestro caso concreto                     y       

 

 

resulta que           que, en nuestro caso concreto será   

    

 

 

que corresponde a una frecuencia de 0´91 Hz.

   En el siguiente APPLET podemos comprobar cómo afecta a la bolita cargada de un péndulo electrostático, la existencia o no de un campo eléctrico.

 

  Para ello podemos establecer distintas diferencias de potencial entre las placas del condensador y ver, en cada caso, cuál es la situación de equilibrio para la bolita cargada. Sobre ella veremos cómo actúan las fuerzas peso ( de naturaleza gravitatoria), tensión del hilo ( de naturaleza electromagnética) y, la fuerza eléctrica debida a la existencia del campo eléctrico.

 

  Por último, podemos, desde cualquier situación de equilibrio dinámico, anular el campo eléctrico (y dar a simular sin reiniciar) viendo entonces cuál es el movimiento resultante de la bolita con la tensión del hilo variable a lo lago del recorrido, y cómo en él debemos aplicar el principio de conservación de la energía para obtener distintas velocidades de la misma.

 

   En dicho movimiento pendular, hemos aumentado el periodo del mismo para su mayor comprensión y clara visualización de las fuerzas actuantes. En todo momento hemos despreciado los efectos de la inducción electrostática.

 

 

 

     

                            Inicio                         Problemas                         Problema siguiente