Un plano inclinado de masa m2 y ángulo a está situado sobre una superficie horizontal sin
rozamiento. Sobre dicho plano se coloca una masa m1 y el sistema se deja en libertad. ¿ Con qué
aceleración se mueve cada masa?. Considera nulo el rozamiento.
Consideremos un sistema
inercial de referencia fijo en tierra ( plano horizontal ). La masa m1 se mueve a lo largo del plano inclinado luego lo
hace a lo largo del eje x y del eje y. La masa m2 (plano inclinado) sólo se mueve a lo largo del
eje x.
Sobre m1 actúan
las fuerzas P1 (peso) y F1 (debida a la interacción con el plano inclinado
de masa m2) y, sobre m2 actúa F2 (debida a la interacción con
m1). El peso de m2 está compensado con la interacción con el plano
horizontal, lo mismo que la componente vertical de F2.
La
aceleración con la que se mueve cada masa, debe depender de la relación entre ambas
masas (m1/m2) así como del ángulo del plano inclinado y del
valor de g. Cuando la masa del plano inclinado sea mucho mayor que m1 (caso que normalmente tratamos suponiendo el plano
inclinado ligado a Tierra) la aceleración de m1 dependerá sólo del ángulo
del plano y de g.
Considerando los ejes “x” e “y” de la figura, las fuerzas antes
mencionadas serán:
Sobre m1 actúan 
y 
1Þ ( 0, -P1)
Sobre m2 actúa
2Þ ( F2x, F2y)
Como por el principio de acción-reacción se debe
cumplir 
a lo largo del eje x debe
cumplirse:
de
donde
si
la masa m1 se desliza
sobre el plano, se debe cumplir la siguiente relación geométrica que podremos ver en el
dibujo.
Siendo
x1 el espacio recorrido por m1 a lo largo del eje x, y x2 el espacio recorrido por m2 (plano inclinado) a lo largo del eje
x . Llamaremos y1al espacio recorrido por m1 a lo largo del eje y.
Como los movimientos a lo largo de estos ejes serán uniformemente acelerados,
considerando los valores absolutos de las aceleraciones, podemos establecer:
|
|
considerando la
relación
|
obtenida anteriormente
entre a2x y a1x podemos escribir:
|
de donde obtenemos: |
|
Considerando las fuerzas que actúan sobre la masa
m1
a lo largo del eje y , se debe cumplir:
P – F1y = m1a1y como
se debe cumplir 
al ser siempre
F1
perpendicular al plano inclinado.
De aquí:
|
de donde: |
|
con lo que obtenemos la siguiente
relación entre las aceleraciones:
|
como
vimos anteriormente que |
|
substituyendo, obtenemos para los valores
absolutos de aceleraciones de m1 lo
siguiente:
En el sistema de coordenadas xy
establecido, la a1x será positiva y, a1y será negativa .
Siendo la aceleración
del plano inclinado m2 la
siguiente:
Para analizar los resultados obtenidos,
consideremos las situaciones extremas siguientes:
Si el ángulo del plano inclinado es
cero a =0 entonces
debe ser a1x=0 , a1y=0 y
a2=0
.Para valores muy pequeños de ángulo, la expresión obtenida nos da valores muy
pequeños de aceleraciones.
Si el ángulo del plano es 90º , entonces debe ser a1x=0 , a1y= g y
a2=
0. Para valores de ángulo grandes ( próximos a 90) las expresiones obtenidas nos dan
valores muy pequeños para las aceleraciones a lo largo del eje x , y próxima a g el caso
de la aceleración a lo largo del eje y.
Si la masa del plano inclinado es mucho
mayor que la masa que cae , prácticamente tendremos un clásico plano inclinado (que
consideramos unido a tierra y por tanto con una masa enorme) entonces dicho plano no
acelera y sólo acelera m1.
Si m2>>m1
y las
aceleraciones de m1 serán:
a1x=g
sena
cosa
a1y=-g
sen2a
a2=
0
Las anteriores aceleraciones a lo largo del eje x
y a lo largo del eje y dan una aceleración
resultante para m1 de:
|
Expresión que
normalmente utilizamos cuando la masa del plano es enorme (está "ligado" a
tierra) y, m1 desliza sin rozamiento.
Como hemos visto, en la resolución de este
problema, sólo hemos utilizado el principio de acción-reacción y la ecuación
fundamental de la dinámica del punto, así como las relaciones geométricas
correspondientes que rápidamente se deducen del dibujo del sistema.
En el APPLET siguiente planteamos la simulación del movimiento estudiado con la
posibilidad de ir cambiando los
valores del
ángulo del plano inclinado así como los valores de masa del bloque ( m1)
y de la masa del plano ( m2) para ver su influencia en el
movimiento resultante.
Sin ir variando el ángulo del plano, podemos ir aumentando la masa del plano m2,
hasta que m1/m2 sea muy
pequeño , viendo entonces el movimiento de m1 sobre el
plano , el cual no se mueve prácticamente, dada su gran masa, por lo que parece
estar "ligado a tierra". Esta situación es la planteada en la mayoría de los problemas de planos inclinados, siendo
entonces a1 = g sen (ángulo del plano) y a2=
0.
La variación del movimiento con el ángulo del plano
podemos abordarla cambiando los valores para dicho ángulo, aumentándolos o
disminuyéndolos, manteniendo constante la relación m1/m2
. Para valores grandes del ángulo ( 70º ) podemos observar que la aceleración del
bloque tiene una componente "y" muy próxima a 9.8, siendo los
valores de las componentes "x" de ambas aceleraciones prácticamente
despreciables.
