Plano inclinado

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Un plano inclinado de masa m2 y ángulo a está situado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre dicho plano se coloca una masa m1 y el sistema se deja en libertad. ¿ Con qué aceleración se mueve cada masa?. Considera nulo el rozamiento.

 

       Consideremos un sistema inercial de referencia fijo en tierra ( plano horizontal ). La masa m1 se mueve a lo largo del plano inclinado luego lo hace a lo largo del eje x y del eje y. La masa m2 (plano inclinado) sólo se mueve a lo largo del eje x.

 

 

 


  

 

 

 

 

 

 

 

 


    Sobre m1  actúan las fuerzas P1 (peso) y F1 (debida a la interacción con el plano inclinado de masa m2) y, sobre m2 actúa F2 (debida a la interacción con m1). El peso de m2 está compensado con la interacción con el plano horizontal, lo mismo que la componente vertical de F2.

 

   La aceleración con la que se mueve cada masa, debe depender de la relación entre ambas masas (m1/m2) así como del ángulo del plano inclinado y del valor de g. Cuando la masa del plano inclinado sea mucho mayor que m1 (caso que normalmente tratamos suponiendo el plano inclinado ligado a Tierra) la aceleración de m1 dependerá sólo del ángulo del plano y de g.

 

    Considerando los ejes “x” e “y” de la figura, las fuerzas antes mencionadas serán:

 

     Sobre  m1  actúan        y     1Þ ( 0, -P1)

    Sobre m2  actúa       2Þ ( F2x, F2y)

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 


                                                                                                                                                                 

 

     Como por el principio de acción-reacción se debe cumplir      a lo largo del eje x debe cumplirse:

                                                               de donde

 

                 si la masa m1 se desliza sobre el plano, se debe cumplir la siguiente relación geométrica que podremos ver en el dibujo.

 

 

x 2

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

                  

 

 Siendo x1 el espacio recorrido por m1  a lo largo del eje x, y x2 el espacio recorrido por m2 (plano inclinado) a lo largo del eje x . Llamaremos y1al espacio recorrido por m1 a lo largo del eje y. Como los movimientos a lo largo de estos ejes serán uniformemente acelerados, considerando los valores absolutos de las aceleraciones, podemos establecer:

         

 

considerando la relación

 

 

 

                               

obtenida anteriormente entre  a2x y  a1x   podemos escribir:

         

de donde obtenemos:

 

                           

 

 

 

 

 Considerando las fuerzas que actúan sobre la masa m1 a lo largo del eje y , se debe cumplir:

 

 

 

  P – F1y = m1a1y        como se debe cumplir               al ser siempre F1 perpendicular al plano inclinado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  De aquí:

       

de donde:

 

                  con lo que obtenemos la siguiente relación entre las aceleraciones:

como vimos  anteriormente que

                            

 

 substituyendo, obtenemos para los  valores absolutos de aceleraciones de m1 lo siguiente:

                        

 

          En el sistema de coordenadas xy establecido, la a1x será positiva y, a1y será negativa .

Siendo la aceleración del plano inclinado m2 la siguiente:

 

                  

 

 

 Para analizar los resultados obtenidos, consideremos las situaciones extremas siguientes:

 

    Si el ángulo del plano inclinado es cero  a =0  entonces  debe ser a1x=0 , a1y=0    y   a2=0 .Para valores muy pequeños de ángulo, la expresión obtenida nos da valores muy pequeños de aceleraciones.

 

   Si el ángulo del plano es 90º , entonces  debe ser  a1x=0 , a1y= g    y     a2= 0. Para valores de ángulo grandes ( próximos a 90) las expresiones obtenidas nos dan valores muy pequeños para las aceleraciones a lo largo del eje x , y próxima a g el caso de la aceleración a lo largo del eje y.

 

   Si la masa del plano inclinado es mucho mayor que la masa que cae , prácticamente tendremos un clásico plano inclinado (que consideramos unido a tierra y por tanto con una masa enorme) entonces dicho plano no acelera y sólo acelera m1.

 

     Si   m2>>m1                      y las aceleraciones de m1 serán:

 

                a1x=g sena cosa                a1y=-g sen2a                  a2= 0

 

 

  Las anteriores aceleraciones a lo largo del eje x y a lo largo del eje y  dan una aceleración resultante para m1  de:

Expresión que normalmente utilizamos cuando la masa del plano es enorme (está "ligado" a tierra) y, m1 desliza sin rozamiento.

                

 

 Como hemos visto, en la resolución de este problema, sólo hemos utilizado el principio de acción-reacción y la ecuación fundamental de la dinámica del punto, así como las relaciones geométricas correspondientes que rápidamente se deducen del dibujo del sistema.

 
           En el APPLET siguiente planteamos la simulación del movimiento estudiado con la posibilidad de ir cambiando los
valores del ángulo del plano inclinado así como los valores de masa del bloque ( m1) y de la masa del plano ( m2) para ver su influencia en el movimiento resultante.
            

  Sin ir variando el ángulo del plano, podemos ir aumentando la masa del plano m2, hasta que   m1/m2  sea muy pequeño , viendo entonces el movimiento de m1  sobre el plano , el cual no se mueve prácticamente, dada su gran masa, por lo que  parece estar "ligado a tierra". Esta situación es la planteada en la mayoría de los problemas de planos inclinados, siendo entonces a1 = g sen (ángulo del plano)  y  a2= 0.

La variación del movimiento con el ángulo del plano podemos abordarla cambiando los valores para dicho ángulo, aumentándolos o disminuyéndolos, manteniendo constante la relación m1/m2 . Para valores grandes del ángulo ( 70º ) podemos observar que la aceleración del bloque   tiene una componente "y"  muy próxima a 9.8, siendo los valores de las componentes "x" de ambas aceleraciones prácticamente despreciables. 

 

    

 

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