En primer lugar, analizando el sistema, tenemos que, el momento del par M_o aplicado al disco lo hace girar en el sentido del mismo con una aceleración angular que dependerá de su momento de inercia. Si colocamos dicho disco sobre una superficie horizontal sin rozamiento, la situación será la misma, ya que ni el peso P ni la reacción del plano N presentan momento respecto a CM ni, tampoco , componente alguna paralela al plano.

   Si por el contrario, la superficie horizontal sobre la que colocamos el disco presenta rozamiento , la superficie del mismo interacciona con el plano horizontal utilizando el rozamiento y empujándola en el sentido de su movimiento superficial en el punto de contacto, y sobre la superficie del disco aparece una fuerza igual y de sentido contrario.

Dichas fuerzas debidas al rozamiento (una sobre la superficie del plano y otra sobre la superficie del disco) suponen que, para el caso del disco, la suma de las fuerzas sobre él ya no sea cero y que se traslade acelerando en el sentido de la fuerza de rozamiento.

   Vamos a dibujar estas dos situaciones en el plano horizontal:

  Sin  rozamiento, solo gira                                       Con  rozamiento, se traslada y gira

  acelerando.                                                                acelerando. Rueda sin deslizar.

      Cuando se trata de un plano inclinado como el del problema, la situación es la misma, ya que el disco sube  acelerando por el mismo debido a la actuación de M_o y utilizando el rozamiento que debe ser el suficiente para que la situación de RODADURA sin DESLIZAMIENTO se produzca y no deslice ( patine girando sin desplazarse lo mismo un punto de la periferia en el giro que el CM).

   La aceleración con la que el disco sube por el plano (siempre que el rozamiento sea el suficiente) debe depender de: el momento del par aplicado M_o , del ángulo del plano , del momento de inercia del disco y, quizás de su radio, así como de la aceleración de la gravedad.

   Considerando nuestro caso concreto, las fuerzas sobre el disco son: El par de fuerzas de momento M_o , el peso P, la reacción del plano N  y la fuerza debida al rozamiento.

   Descomponiendo el peso P en sus componentes tangencial y normal , P_T  y  P_N , las fuerzas perpendiculares al plano están compensadas  ( N – P_N =0) por lo que sólo nos quedan las fuerzas paralelas al plano  P_T = mg senb y  F_R´.

        Como el disco se traslada y gira acelerando, aplicaremos las ecuaciones de la dinámica de la traslación y de la dinámica de la rotación al movimiento del mismo.

     Ecuación fundamental de la dinámica de la rotación  

     Ecuación fundamental de la dinámica de la traslación  

 Además del momento exterior aplicado M_o , sólo hay una fuerza que presente momento con respecto al CM. Esta fuerza es F_r´. Además , recordemos que, si se trata de rodadura sin deslizamiento se debe cumplir que la  a_CM= a _periferia. Podemos escribir pues las siguientes ecuaciones :

      M_o – M_Fr  = I a                                                M_o – F_r´.R = I a                        

     F_r´ - mg senb = m a_CM                                                         F_r´ = m a + mg senb

      a = a_CM = a R                                                  M_o – F_r´. R =  

     De donde, la aceleración con la que sube el disco por el plano será:

                                             que, como vemos depende del

momento aplicado M_o, del ángulo del plano inclinado, del momento de inercia del cuerpo que sube rodando así como de su masa y radio. En nuestro caso concreto:

         M_o= 6 N.m     ;       R = 0.5 m      ;      b = 30º       ;       m = 2 kg      ;                       I = = 0.25 Kg.m².

  Y, la fuerza debida al rozamiento será:

        F_r´= m a + mg senb = 2. + 2 .10 .sen30º = 11.3 N

2) Para que el disco no deslice, la fuerza debida al rozamiento debe ser menor o, como máximo igual al coeficiente de rozamiento por la fuerza perpendicular que se ejercen entre sí el cuerpo que rueda y el plano inclinado es decir :

                                      F_r´£ m mg cos b

Como, en nuestro caso concreto, la fuerza debida al rozamiento es de 11.33 N, el mínimo coeficiente de rozamiento capaz de producir la rodadura sin deslizamiento será:

                             11.33 = m_min.2.10. cos30º                       m_min= 0.65

Luego, para coeficientes de rozamiento mayores o iguales a 0.65, el disco subirá rodando sin deslizar cuando se aplique sobre el un par de momento 6 N.m. Para valores inferiores de coeficiente de rozamiento, la fuerza de rozamiento no alcanzará el valor de 11.33 N y el disco deslizará (se trasladará y girará acelerando, pero el desplazamiento de un punto de la periferia en el giro no coincide con el del CM;o lo que es lo mismo v_periferia¹ v_CM    y    a_periferia¹ a_CM).

3) En el caso de que no hubiera rozamiento (m=0), el disco se traslada y gira (debido a la actuación de M_o), de manera que la aceleración del punto O,(centro de masas) sería:

               a_CM = a = - g sen b = -10. sen30º = -5 ms^-2

         bajando por el plano inclinado, ya que la fuerza resultante que actúa sobre el disco es la componente tangencial del peso. Además de deslizarse por el plano inclinado con una aceleración de  - 5 ms^-2, el disco gira debido a la actuación de M_o con una aceleración angular de:

                   rd.s^-2