EFECTO  COMPTON

  

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             Uno de los hechos experimentales que vuelven a demostrar el comportamiento corpuscular del movimiento ondulatorio lo constituye el llamado “Efecto Compton”. En el, una radiación de elevada frecuencia ( baja longitud de onda) al incidir sobre electrones libres de un determinado material, resulta dispersada con una frecuencia menor y, por tanto, con una mayor longitud de onda . Dicha frecuencia de la radiación dispersada depende del ángulo para el cuál la observemos. Proponemos el siguiente problema:

 

     Una radiación de 10-10 m ( ó 1 Amstrong) de longitud de onda experimenta dispersión de Compton en una muestra de carbono. Se observa la radiación dispersada en dirección perpendicular a la de incidencia. Hallar: a) La longitud de onda de la radiación dispersada, b) La energía cinética y la dirección del movimiento de los electrones de retroceso, c) Si, con la radiación anterior, los electrones retroceden un ángulo de 60º respecto a la radiación incidente  ¿ cuál es en este caso, la longitud de onda y la dirección de la radiación dispersada? ¿ y la energía cinética del electrón?.

 Datos : Constante de Planck  h = 6´63 . 10-34J.s  ; masa del electrón   me = 9.1 . 10-31 Kg  ; velocidad de la luz  c= 3. 108 m/s.

 

   Como hemos visto en la interpretación del Efecto Compton, la radiación incidente compuesta por fotones de una determinada frecuencia (y por tanto energía) interfiere con los electrones libres del carbono produciéndose un choque elástico entre el fotón y el electrón en reposo, perdiendo energía y cantidad de movimiento el fotón que son cedidas al electrón También pueden interferir con los núcleos del C, pero como veremos más adelante , su efecto es insignificante. En este choque se deben cumplir los principios de conservación establecidos en cualquier choque entre partículas, es decir, el de conservación de la cantidad de movimiento y el de conservación de la energía. El fotón, al perder energía, disminuye su frecuencia y por tanto aumenta la longitud de onda de la radiación dispersada en una determinada dirección.

                                                                                                   

                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


   

    Los principios de conservación son :

 

     El de conservación  de la cantidad de movimiento:

 

         

 

      El de conservación de la energía

 

   

 

 Estos dos principios de conservación, nos llevan a relacionar las longitudes de onda de los movimientos ondulatorios incidente y dispersado con la siguiente relación ( ver Introducción a los principios Cuánticos).

 

    

 

 Que como vemos, nos indica  que la longitud de onda dispersada es mayor que la longitud de onda incidente ( y por tanto menor la frecuencia y la energía del fotón dispersado). También vemos que, la longitud de onda de la radiación dispersada, depende del ángulo para el que la midamos, siendo la máxima diferencia entre las longitudes de onda para un ángulo de 180º ( que supondría un choque frontal entre el fotón incidente y el electrón) y nula  cuando el ángulo sea de 0º ( es decir cuando la medimos en la misma dirección que la radiación incidente.

 

  Debemos fijarnos además en el pequeño valor  de  h/mec  , lo que nos indica que, el “efecto Compton” sólo será apreciable cuando las longitudes de onda de la radiación incidente sean suficientemente pequeñas ( de un orden de magnitud comparables) por tanto sólo se manifiesta para frecuencias elevadas del orden de las de los rayos X o mayores, siendo inapreciable para frecuencias del espectro visible o inferiores.En los posibles choques con los núcleos, dada su masa, el efecto es inapreciable. También incide en este hecho el que la "probabilidad" de colisión fotón- electrón crece con la energía y, para fotones de baja energía ( baja frecuencia) será muy pequeña.

 

      En nuestro caso concreto, medimos la radiación dispersada para un ángulo de 90º, por lo que, aplicando la expresión anterior.

 

          de donde      

 

 

  Con lo que la longitud de onda de la radiación  dispersada en esa dirección será     l´= 1´02428 . 10-10 m. que como vemos, sólo ha aumentado en un 2´4% con respecto a la incidente.

 

 

b) El choque entre el fotón incidente y el electrón, la energía cinética que ha ganado el electrón debe ser igual a la que ha perdido el fotón  pasando a fotón dispersado con menor frecuencia. Así:

 

      Ee = hn - hn´    

 

  Como la frecuencia de la radiación incidente es  

 

 

 Y la de la onda dispersada  es   

 

 

 La energía transferida al electrón en forma de energía cinética será:

 

      Ee = 6´63. 10-34 ( 3 . 1018 – 2´92888 .1018) = 4´71 . 10-17 J.

 

 Para averiguar la dirección con la cual sale  lanzado el electrón después del choque, interesa hacer un dibujo en el que tengamos en cuenta el principio de conservación de la cantidad de movimiento entre las dos partículas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


      Como la relación entre la energía de un fotón y su cantidad de movimiento es  E = p c  tendremos que :  

 

        p = E/c = h n/c= h/l

 

 

 En nuestro caso concreto, la cantidad de movimiento del fotón incidente será:

 

 

 

 Y la cantidad de movimiento del fotón dispersado en la dirección de 90º será:

 

 

 

 

 

Conocidos los valores de  p   y de p´, como se tiene que cumplir el principio de conservación de la cantidad de movimiento, en el dibujo anterior se ve claramente que la cantidad de movimiento del electrón será :

 

     

 

Y la dirección del movimiento del electrón vendrá dada por el ángulo :

 

 

              de donde        a = 44´3 º

 

 

   Si la misma cuestión la hubiéramos resuelto para una frecuencia mayor de radiación incidente, la situación sería :

 

    Para   l = 10-11m    y      q= 90º       n = 3 . 1019 Hz   , la longitud de onda dispersada en esa dirección será:

 

 

 

 l´- 10-11 = 2´428. 10-12 ( 1 – cos 90)                  l´=1´2428 . 10-11 m         n´= 2´4138 . 1019 Hz

 

Con lo que la ganancia en energía cinética del electrón será :

 

  Ec = hn - hn´= 6´63 . 10-34 ( 3. 1019 – 2´4138 . 1019) = 3´8865 . 10-15 J      que como vemos es unas 100 veces mayor que en el caso anterior.

 

  La dirección en el movimiento del electrón , en este caso será :

 

   p = h/l = 6´63 . 10-23 Kg.m/s           y             p´= h/l´= 5´3347 . 10-23 kg.m/s

 

     con lo que                      a = 38´82º

 

siendo la cantidad de movimiento del electrón :

 

 

 

c)En este apartado conocemos la longitud de onda de la radiación incidente  l = 10-10 m  y la dirección con la que salen lanzados los electrones después del choque con el fotón incidente. Esta dirección es de 60º.

 

     Para averiguar la longitud de onda de la radiación dispersada así como su dirección  ( ángulo q) tendremos que aplicar los principios de conservación que se aplican en los choques de partículas, es decir el de conservación de la cantidad de movimiento y el de la energía.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


   El principio de conservación de la cantidad de movimiento nos permite establecer :

 

 

   Que, descomponiéndolo a lo largo del eje x ( dirección de propagación de la radiación incidente) y del eje y ( perpendicular al anterior) y ambos en el plano que contiene los vectores cantidad de movimiento, tenemos:

 

          p´cos q + pe cos 60º = p             (1)

 

         p´sen q - pe sen 60º = 0

 

 La utilización de los principios de conservación de la energía  y de la cantidad de movimiento, recordemos que nos lleva a :

 

 

 Si substituimos los valores de longitud de onda por los valores de las correspondientes cantidades de movimiento de los fotones incidente y dispersado, tendremos:

 

          de donde     

 

Despejando el valor del cos q de la expresión (1) , en función de p´y de pe y utilizando el teorema del coseno en uno de los triángulos del paralelogramo formado por p´y pe , tendremos dos ecuaciones con las incógnitas p´y pe.

 

   En nuestro caso, el teorema del coseno utilizado supone:

 

          p´2 = p2 + pe2 – 2p.pecos 60

 

  Finalmente , la resolución de sistema nos da para las cantidades de movimiento los valores:

 

   pe = 6´47616 . 10-24 Kg.m/s

 

  p´= 6´5545 . 10-24 Kg.m/s

 

 Con lo que , el coseno del ángulo del fotón dispersado será:

 

      y         q = 58´8º

 

 La longitud de onda y la frecuencia de la radiación dispersada será :

 

 

    y la frecuencia      n´= 2´96583 . 1018 Hz

 

 

 La energía transferida al electrón habrá sido en este caso :

 

   Ec = h n - hn´= 6´63 . 10-34 ( 3 . 1018 – 2´96583 . 1018) = 2´2654 . 10-17 J

 

Si la frecuencia de la radiación incidente hubiera sido mayor, la transferencia de energía al electrón también hubiera sido mayor ( recordemos el caso de l= 10-11 m como longitud de onda incidente).

 

 En el siguiente APPLET podemos ir eligiendo la longitud de onda de la radiación incidente y, la dirección para la cuál medimos la radiación dispersada ( llamada ángulo de observación en el Applet)  dándonos en cada caso la longitud de onda de la radiación dispersada y, el ángulo según el cual se mueve el electrón después de la interacción entre ambos. También podemos observar cómo para cada longitud de onda incidente, los valores de la longitud de onda dispersada dependen del ángulo para el cual la midamos, dependiendo además en cada caso, la dirección del movimiento del electrón.

 

 En la opción cuántica, la tanto la radiación incidente como la dispersada, se consideran constituidas por fotones que, tendrán distinta energía según su  frecuencia. Se simula entonces el efecto Compton, como un choque entre partículas, en el que se deben cumplir los principios de conservación, tanto el de la cantidad de movimiento (o momento lineal) como el de la energía. En el Applet se visualiza el choque en el que queda de manifiesto el principio de conservación de la cantidad de movimiento y, se dan los valores que nos permitirán comprobar que se cumple el principio de conservación de la energía.

 

  Por último podemos comprobar que este efecto Compton sólo es observable para radiaciones de elevada frecuencia ( baja longitud de onda   10-11 ó 10-12 m ), es decir para radiaciones de la zona del espectro que corresponde a los rayos X o rayos gamma. Esto , es debido al valor  del término h/mec , el cual , para longitudes de onda mayores ( rayos ultravioleta, espectro visible, infrarrojos) resulta sumamente pequeño y el aumento en la longitud de onda no es apreciable.

 

 

 

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