Giro del sólido ligado a un eje

Giro del Sólido ligado a un eje .Fuerzas sobre el eje.

La dinámica del movimiento del sólido rígido resulta muy compleja dadas las posibilidades de traslación y rotación simultáneas. Para la traslación podemos considerar el sólido reducido a su centro de masas y, para la rotación, el giro alrededor de un eje instantáneo.

Nosotros consideraremos el caso de un sólido ligado a un eje. En este caso, las posibilidades de traslación son nulas, por lo que sólo nos queda la rotación alrededor del eje considerado. Para ello, aplicaremos la ecuación fundamental de la Dinámica de la Rotación:

Si el eje de rotación no pasa por el CM, este movimiento del sólido (que es una rotación pura) podemos desdoblarlo en una traslación del CM y en un giro alrededor de un eje que pase por dicho centro de masas. Esto nos permitirá en todo momento, determinar la fuerza que el eje ejerce sobre el sólido ligado a él (fuerza que, sólo será igual a la ejercida y de signo contrario si el eje pasa por el CM).

Vamos a analizar estas situaciones y a calcular el valor de la fuerza que ejerce el eje en cada caso. Para ello consideraremos un sólido ligado a un eje que no pasa por su CM que, en nuestro caso, será una varilla que gira alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos. El enunciado del problema puede ser el siguiente:

Una varilla homogénea está situada en un plano horizontal sin rozamiento y se encuentra ligada a un eje vertical que pasa por un extremo. Determinar la fuerza que, inicialmente, ejerce el eje sobre la varilla cuando aplicamos sobre la misma una fuerza F paralela al plano y perpendicular a la misma. Considerar todos los casos posibles.

Consideremos que se ejerce una fuerza F ( perpendicular a la varilla) a una distancia a del eje.

En estas condiciones, la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla, dependerá de la fuerza aplicada F , de su distancia al eje así como del momento de inercia.

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación , tenemos que .

M = I a a.F = I.a luego a =

Como el momento de inercia de la varilla con respecto a un eje que pase por un extremo es :

I = siendo m la masa de la varilla y L su longitud , la aceleración angular resultante de la varilla será:

luego, en este movimiento, la aceleración del CM será

a_CM= a.

Como esta aceleración debe ser el resultado de la actuación de las fuerzas F y F´ ( fuerza ejercida por el eje sobre la varilla), aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de la traslación al movimiento del centro de masas:

de donde

F´= de modo que:

Si aplicamos la fuerza F en el extremo a=L y F´= es decir, la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla es en el mismo sentido que F y la mitad de F.

Si aplicamos la fuerza en el centro de masas de la varilla, a= L/2, la fuerza F´ será:

F´= es decir, la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla es en sentido contrario al de F y un cuarto de su valor.

Si aplicamos la fuerza F cerca del eje de giro a una distancia a = , la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla será:

F´= en sentido contrario al de F y con un valor más próximo al de F que en el caso anterior.

A medida que nos vamos aproximando al eje en la aplicación de la fuerza F , la fuerza que ejerce el eje va siendo cada vez mayor y en sentido contrario al de F. Cuando a=0, F´= -F y la varilla no gira ni el centro de masas se traslada .

Como también podemos ver, la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla cambia de sentido cuando vamos variando el punto de aplicación de F, por lo que debe haber un punto de aplicación de F para el cual la fuerza F´que ejerce el eje sea cero. Este punto se llama CENTRO DE PERCUSIÓN y se caracteriza porque si en él se ejerce una fuerza F , el eje no colabora en la traslación del CM de la varilla , siendo F´=0.

En el caso de la varilla que gira alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos, el CENTRO de PERCUSIÓN estará situado en:

F´=0 luego

por lo que

Generalizando el caso para cualquier sólido que gire alrededor de un eje que no pase por su centro de masas, la fuerza que ejerce el eje sobre el sólido vendrá dada por la siguiente expresión:

siendo a la distancia entre el eje y el punto de

aplicación de F, d la distancia entre el eje y el CM, e I el momento de inercia del sólido con respecto al eje especificado, ya que:

M = I a a . F = I .a

luego

Como la suma de fuerzas sobre el sólido debe ser igual a m.a_CM, tenemos que :

F + F´= de donde

Expresión que podremos aplicar a cualquier sólido que gire alrededor de un eje que no pase por su centro de masas, cuando actúa sobre el una fuerza F.

De donde, el punto de aplicación de F , para el cual la fuerza F´que ejerce el eje es cero, será :

luego

Siendo a la distancia entre el eje y el CENTRO de PERCUSIÓN del sólido.

Según lo que hemos visto hasta ahora, cuando sobre una puerta ligada al eje que determinan las bisagras , se ejerce una fuerza F perpendicular a la puerta y en el extremo de la misma, la fuerza que ejerce el eje (las bisagras) sobre la puerta es F/2 y en el mismo sentido que F.

NOTA : La fuerza que, cuando gira con velocidad angular w, ejerce el eje de la varilla sobre la misma, tiene dos

componentes una radial ( siguiendo la dirección de la varilla) y otra tangencial (perpendicular a la anterior).

Nosotros en este problema sólo hemos considerado la componente tangencial de la fuerza, no la radial ( cálculo que haremos en otros problemas así como en el applet del giro del sólido alrededor de un eje).

El siguiente APPLET representa una varilla homogénea situada en un plano horizontal sin rozamiento y, ligada a un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. Podemos ir aplicándole distintas fuerzas exteriores ( siempre perpendiculares a la varilla y en el plano horizontal ) y, ver en cada caso la fuerza que ejerce el eje . Al ir variando el punto de aplicación de la fuerza exterior, se observa cómo varía el valor de la fuerza que ejerce el eje, de manera que, para un determinado punto, la fuerza ejercida por el eje es cero. A este punto le hemos dado el nombre de CENTRO de PERCUSIÓN. A partir de éste punto , las fuerzas que ejerce el eje son en sentido contrario al de la fuerza exterior aplicada y, progresivamente mayores a medida que nos acercamos al eje.

También podemos ver, en cada caso, el movimiento generado en la varilla, que será un movimiento circular uniformemente acelerado, con una aceleración angular que será proporcional al momento de la fuerza aplicada.

En todos los casos, el movimiento circular uniformemente acelerado generado en la varilla, supondrá una aceleración angular proporcional al momento de la fuerza aplicada, como en el caso anterior, pero con distinta constante que dependerá del momento de inercia de la varilla, en este caso ligada a un eje que pasa por su CM y que, en el caso anterior, pasa por uno de sus extremos.

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