Movimiento en una rampa semicircular
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Se trata de estudiar el movimiento de un punto material
sobre una rampa semicircular en el plano vertical. Para facilitar este estudio
consideraremos que el rozamiento es nulo, y, utilizaremos la ecuación fundamental de la
dinámica del punto material, así como el principio de conservación de la energía.
Desde el extremo A de una rampa
se abandona sin velocidad inicial, una masa puntual m
que desliza sin rozamiento. La rampa continúa con un tramo circular BCD de radio R
(también sin rozamiento) tal y como se indica en la figura.
Calcular
la reacción del arco BCD sobre el punto material. ¿Cuál será el valor máximo de esa
reacción y dónde se producirá?.
Suponiendo
que en D, la masa puntual se lanza al aire perdiendo el contacto con la rampa.¿Qué
altura máxima alcanzará?.
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Cuando el punto material desliza sobre la rampa
inclinada ( de A a B) las fuerzas que actúan sobre el mismo son el
peso P y la reacción normal del plano N. Si descomponemos el peso P en sus componentes
normal y tangencial PN y PT, la suma de fuerzas normales al plano
inclinado debe ser cero ( N- PN =0 ) por lo que la fuerza resultante sobre m sólo
será PT ( PT= mg sena).
En
este tramo de rampa inclinada N = PN = mg cosa .
Cuando
el punto material describe la rampa semicircular BCD , la reacción del plano N debe ser
mayor que la componente normal del peso PN, pues sobre m debe actuar una fuerza resultante dirigida hacia
el centro de la curva descrita ( fuerza centrípeta) que le comunicará la aceleración
centrípeta necesaria. La componente tangencial del peso PT le comunica la aceleración tangencial en
cualquier punto.
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En
cualquier punto de la rampa en forma de arco BCD, la suma de fuerzas normales ( o
radiales) sobre m debe ser igual a la masa por la aceleración
normal o centrípeta, de manera que:
N
– PN = m acentripeta
de donde
según
esta expresión N será máxima cuando a = 0, pues
además en ese punto la velocidad tomará su valor máximo.
Para
averiguar la velocidad en el punto C (en el
que a = 0) aplicaremos el
principio de conservación de la energía al paso de m
desde el punto A al C. Siempre que tengamos un sistema en el que, alguna de las fuerzas
que actúan sobre m dependa de la posición ( como en este caso), el razonamiento
dinámico será muy complicado ( con aceleraciones que dependen del ángulo en este caso)
es importante utilizar el principio de conservación de la energía. Considero como
sistema el formado por m y la rampa ligada a Tierra. Como no hay fuerzas
de rozamiento, el sistema es aislado y conservativo por lo que podemos escribir:
tomando
como origen de energías potenciales gravitatorias el plano horizontal que contiene C, la
anterior expresión se convierte en:
EcC
= EpA
como
hA es igual al radio R del arco descrito (ver
figura), de la expresión anterior se deduce que:
de donde la
reacción máxima del arco sobre m tendrá
lugar
en C y valdrá:
Es decir, la reacción de la rampa es máxima en el punto más
bajo del arco, en C, y el valor de esta
reacción dependerá del punto desde el que
dejemos libre el punto material. En este caso concreto, dicha reacción N , resulta ser de
tres veces el peso.
Para determinar la altura máxima alcanzada después de abandonar la rampa BCD,
tendremos que aplicar el principio de conservación de la energía. Cuando el punto
material describe la rampa BCD, las fuerzas que actúan sobre m son, como
hemos visto anteriormente, P y N, pero, cuando abandona dicha rampa en el punto D
sólo actúa la fuerza P. Bajo la acción del peso P, el punto material que sale de la
rampa con una velocidad vD, describirá una trayectoria parabólica, alcanzando
en E la altura máxima. En ese punto E, su velocidad sólo tendrá componente horizontal.
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Primero calcularemos la velocidad vD con la que la masa abandona la rampa. Para ello
aplicaremos el principio de conservación de la energía del punto A al D . Para ello,
consideramos el sistema : masa + rampa ( ligada a Tierra) , como AISLADO Y CONSERVATIVO.
Luego
