Varilla pendular |
Aquí vamos a considerar otro problema de la dinámica de la rotación del sólido
en el que , además de las ecuaciones de la dinámica del sólido debemos utilizar el
principio de conservación de la energía. El problema a tratar será el siguiente:
La varilla de la figura,
cuya longitud es L y cuya
masa es m, puede girar libremente en un plano
vertical alrededor de su extremo A. Inicialmente se coloca en una posición horizontal y
luego se suelta. Cuando forme un ángulo b con la vertical,
calcular: a) su aceleración angular; b) su velocidad angular; y c) las fuerzas en el
lugar de suspensión.
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La varilla al soltarse, gira
alrededor del punto A (eje y lugar de suspensión) . En todo momento actúa la fuerza peso
P de la varilla que presentará un momento variable según la posición de la varilla y,
sólo será cero cuando esta se encuentre en la posición vertical, siendo máximo cuando
la soltamos desde la posición horizontal. La aceleración angular debe depender de: el
ángulo a que forme la varilla con
la vertical , de la longitud de la misma y de la aceleración de la gravedad.
Para calcular la aceleración angular de la
varilla cuando forma con la vertical un ángulo a , aplicaremos la
ecuación fundamental de la dinámica de la rotación del sólido.
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siendo a la
aceleración
angular en ese
instante.
De donde la aceleración angular en esa posición
será:
Para calcular la velocidad angular de la
varilla cuando forma un ángulo a con la vertical, tenemos
que aplicar el principio de conservación de la energía. Siempre que tengamos una
situación en la que la fuerza aplicada (o el momento aplicado) dependan de la
posición
, lo más sencillo es aplicar el principio de conservación de la energía entre dos situaciones
extremas la 1 y la 2.
La velocidad angular de la varilla
dependerá de: el ángulo a , de la longitud de la
varilla L, y de la aceleración de la gravedad. Esta velocidad angular debe ser máxima
cuando a sea igual a cero , y
cero cuando b = p/2 rd.
Para calcular dicha velocidad angular
w , consideraremos el
sistema formado por la varilla y Tierra. Cuando soltamos la varilla , las fuerzas
exteriores que ejerce el punto de suspensión sobre la varilla no realizan trabajo , por lo que podemos
aplicar al principio de conservación de la energía para el paso del punto 1 al 2 como.
Considerando
una rotación pura alrededor de A.
Es
decir, lo que pierde la varilla
en energía potencial gravitatoria
lo gana en energía cinética de
de rotación. En la posición 1
el CM de varilla se encuentra
a una altura h1 , y en la posi-
ción 2 la altura es h2.
En la posición 1 la energía ci-
nética
de rotación es cero.
Se debe cumplir que:
( Ecrot2
– Ecrot1)+(
Ep2
– Ep1)
= 0
de donde :
como h1- h2
= 
y
el momento de inercia de la varilla con respecto a
un eje que pasa por un extremo es:
de
donde:
como
vemos, w depende de las variables
que habíamos
propuesto, y cuando a=0 entonces w es máxima e igual a 
.
Para calcular las
fuerzas que actúan en el lugar de suspensión A ( fuerzas que el eje ejerce sobre la
varilla cuando esta se encuentra formando ángulo a con la vertical)
consideraremos la componente radial ( en la dirección de
la varilla) y la componente tangencial ( perpendicular a la
varilla ). Aplicaremos la ecuación fundamental de la dinámica en los dos casos.
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Como
la suma de fuerzas radiales debe ser
igual a la masa por la aceleración
centrípeta
del CM , tenemos que:
de
donde 
Para calcular la componente tangencial (
perpendicular a la varilla)de las fuerzas que ejerce el eje sobre la misma , recordaremos
el valor de la aceleración angular y con el determinaremos la componente tangencial de la
aceleración del CM en ese punto.
Como
Aplicando la ecuación fundamental de la
dinámica a las fuerzas tangenciales:
de
donde
El valor negativo, nos indica que la componente
tangencial de la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla es en sentido contrario a la
componente tangencial del peso.
Cuando el ángulo b=90º (la varilla está
horizontal) Fr= 0 y Ft=
Cuando el ángulo b=0º (la varilla está
vertical) Fr= 
y Ft=0
En
resumen, las componentes de la fuerza que ejerce el eje sobre la varilla dependen, en cada
momento, del ángulo que forme ésta con la vertical, y
dichas componentes (radial o centrípeta) y tangencial dependen de b de la siguiente forma:
y
